Question

（05年湖南卷文）（14分）

已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的左．右焦点为F₁、F₂，离心率为e. 直线

l：y＝ex＋a与x轴．y轴分别交于点A、B，M是直线l与椭圆C的一个公共点，P是点F₁关于直线l的对称点，设＝λ.

   （Ⅰ）证明：λ＝1－e²；

   （Ⅱ）若，△PF₁F₂的周长为6；写出椭圆C的方程；

   （Ⅲ）确定λ的值，使得△PF₁F₂是等腰三角形.

Answer 1

解析：（Ⅰ）证法一：因为A、B分别是直线l：与x轴、y轴的交点，所以A、B的坐标分别是.

    所以点M的坐标是（）.    由

即

    证法二：因为A、B分别是直线l：与x轴、y轴的交点，所以A、B的坐标分别是设M的坐标是

所以      因为点M在椭圆上，所以 

即

   解得

   （Ⅱ）当时，，所以   由△MF₁F_­2­­的周长为6，得

         所以  椭圆方程为

   （Ⅲ）解法一：因为PF₁⊥l，所以∠PF₁F₂=90°+∠BAF₁为钝角，要使△PF₁F₂为等腰三角形，必有|PF₁|=|F₁F₂|，即

    设点F₁到l的距离为d，由

    得   所以

    即当△PF₁F_­2­­为等腰三角形.

解法二：因为PF₁⊥l，所以∠PF₁F₂=90°+∠BAF₁为钝角，要使△PF₁F₂为等腰三角形，必有|PF₁|=|F₁F₂|，

设点P的坐标是，

则

由|PF₁|=|F₁F₂|得

两边同时除以4a²，化简得  从而

于是.    即当时，△PF₁F₂为等腰三角形.