Question

不等式选讲：
已知a，b，c为实数，且a+b+c+2-2m=0，a2+

1

4

b2+

1

9

c2+m-1=0．
（Ⅰ）求证：a2+

1

4

b2+

1

9

c2≥

(a+b+c)2

14

；
（Ⅱ）求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由柯西不等式可得 (a2+

1

4

b2+

1

9

c2)×14≥（a+b+c）²，由此变形证得要证的不等式．
（Ⅱ）由已知可得14（1-m）≥（2m-2）²，化简得 2m²+3m-5≤0，求得-

5

2

≤m≤1．再由 a2+

1

4

b2+

1

9

c2=1-m≥0，可得 m≤1．综合可得实数m的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）证明：由柯西不等式得[a²+(

1

2

b)2+(

c

3

)2]•[1²+2²+3²]≥（a+b+c）²，…2分
即 (a2+

1

4

b2+

1

9

c2)×14≥（a+b+c）²，∴a2+

1

4

b2+

1

9

c2≥

(a+b+c)2

14

．…4分
（Ⅱ）由已知得a+b+c=2m-2，a2+

1

4

b2+

1

9

c2=1-m，∴14（1-m）≥（2m-2）²，
∴2m²+3m-5≤0，∴-

5

2

≤m≤1．…6分
又 a2+

1

4

b2+

1

9

c2=1-m≥0，∴m≤1．
综上可得，-

5

2

≤m≤1，即实数m的取值范围为[-

5

2

，1]．…7分

点评：本题主要考查利用柯西不等式证明不等式，一元二次不等式的解法，属于中档题．