Question

1．已知曲线C₁：ρ=2cosθ，曲线C₂：$\left\{\begin{array}{l}{x=5cost}\\{y=4sint}\end{array}\right.$（t为参数），
（1）化C₁为直角坐标方程，化C₂为普通方程；
（2）若M为曲线C₂上一动点，N为曲线C₁上一动点，求|MN|的取值范围．

Answer 1

分析 （1）直接根据极坐标和直角坐标互化公式求解即可；
（2）利用已知，得到|MC₂|-1≤|MN|≤|MC₂|+1，然后，得到|MC₂|²=（5cosφ-1）²+16sin²φ=9cos²φ-10cosφ+17，借助于三角函数的取值情况进行求解即可．

解答 解：（1）∵曲线C₁：ρ=2cosθ，
∴ρ²=2ρcosθ，
∴x²+y²=2x，
故它的直角坐标方程为x²+y²-2x=0，
即：C₁：（x-1）²+y²=1，
∵曲线C₂：$\left\{\begin{array}{l}{x=5cost}\\{y=4sint}\end{array}\right.$（t为参数），
∴$\left\{\begin{array}{l}{cost=\frac{x}{5}}\\{sint=\frac{y}{4}}\end{array}\right.$（t为参数），
∴平方相加后可得：C₂：$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1．
（2）设点M（5cost，4sint），则
|MC₂|-1≤|MN|≤|MC₂|+1，
|MC₂|²=（5cost-1）²+16sin²t=9cos²t-10cost+17=9（cost-$\frac{5}{9}$）²+$\frac{128}{9}$，
当cost=-1时，得|MC₂|²_max=36，|MC₂|_max=6，
当cost=$\frac{5}{9}$时，得|MC₂|²_min=$\frac{128}{9}$，|MC₂|_min=$\frac{8\sqrt{2}}{3}$，
∴$\frac{8\sqrt{2}}{3}$-1≤|MC₂|-1≤|MN|≤|MC₂|+1≤5+1，
∴|MN|的取值范围[$\frac{8\sqrt{2}}{3}$，6]．

点评 本题重点考查极坐标和直角坐标的互化公式、距离问题处理思路和方法等知识，属于中档题．