Question

（2009广东卷理）（本小题满分14分）

已知曲线与直线交于两点和，且．记曲线在点和点之间那一段与线段所围成的平面区域（含边界）为．设点是上的任一点，且点与点和点均不重合．

（1）若点是线段的中点，试求线段的中点的轨迹方程；            

（2）若曲线与有公共点，试求的最小值．

Answer 1

解析：（1）联立与得，则中点，设线段的中点坐标为，则，即，又点在曲线上，

∴化简可得，又点是上的任一点，且不与点和点重合，则，即，∴中点的轨迹方程为（）.

（2）曲线，

即圆：，其圆心坐标为，半径

由图可知，当时，曲线与点有公共点；

当时，要使曲线与点有公共点，只需圆心到直线的距离，得，则的最小值为.