Question

已知圆C的方程x²+y²-2ax+（2-4a）y+4a-4=0（a∈R）．
（1）证明对任意实数a，圆C必过定点；
（2）求圆心C的轨迹方程；
（3）对a∈R，求面积最小的圆C的方程．

Answer 1

分析：（1） 分离参数a，化为x²+y²+2y-4+a（-2x-4y+4）=0，此圆经过的定点就是x²+y²+2y-4=0和（-2x-4y+4）=0的
交点，解方程组求得交点的坐标．
（2）设圆心C的坐标为（x，y），由圆的方程可得

x=a y=2a-1

，消去a，即可得到圆心C的轨迹方程．
（3）面积最小的圆就是以AB为一条直径的圆，线段AB 的中点是圆心，线段AB 是直径．

解答：（1）证明：分离参数a，化为x²+y²+2y-4+a（-2x-4y+4）=0，
又

x2+y2+2y-4=0 -2x-4y+4=0

，得

x=2 y=0

或

x=- 2 5 y= 6 5 .

，∴对任何实数a，圆C必过点A（2，0）、B(-

2

5

，

6

5

)．
（2）解：∵D²+E²-4F=4（5a²-8a+5）＞0恒成立，设C的坐标为（x，y），
则圆心C的方程为

x=a y=2a-1

，消去a，得 2x-y-1=0，∴圆心C的轨迹方程为 2x-y-1=0．
（3）解：面积最小的圆就是以AB为一条直径的圆，方程是(x-

4

5

)2+(y-

3

5

)2=

9

5

．

点评：本题考查圆过定点问题，点的轨迹方程的求法，以及经过A、B两点的面积最小的圆方程的求法．