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已知向量,动点M到定直线y=1的距离等于d,并且满足,其中O是坐标原点,k是参数.
(1)求动点M的轨迹方程,并判断曲线类型;
(2)当时,求的最大值和最小值;
(3)如果动点M的轨迹是圆锥曲线,其离心率e满足,求实数k的取值范围.
【答案】分析:(1)先设出M的坐标并求出A(2,0),B(2,1),C(0,1),把各点的坐标以及动点M到定直线y=1的距离等于d代入,整理即可求出动点M的轨迹方程为(1-k)(x2-2x)+y2=0,再分情况得出曲线类型;
(2)先利用(1)的结论得出:0≤x≤2,y2=,再把整理为,利用二次函数在闭区间上的最值求即可求出的最大值和最小值;
(3)先由离心率e满足,得圆锥曲线是椭圆,且方程可化为.再利用离心率e和系数的关系分情况分别求出对应的实数k的取值范围即可.
解答:解:(1)设M(x,y),由题设可得A(2,0),B(2,1),C(0,1)


∴(x,y)•(x-2,y)=
k[(x,y-1)•(x-2,y-1)-|y-1|2]
即(1-k)(x2-2x)+y2=0为所求轨迹方程.
当k=1时,y=0,动点M的轨迹是一条直线;
当k=0时,x2-2x+y2=0,动点M的轨迹是圆;
当k≠1时,方程可化为,当k>1时,动点M的轨迹是双曲线;
当0<k<1或k<0时,动点M的轨迹是椭圆.
(2)当时,M的轨迹方程为,.得:0≤x≤2,y2=

=
=
∴当时,取最小值
当x=0时,取最大值16.
因此,的最小值是,最大值是4.
(3)由于,即e<1,此时圆锥曲线是椭圆,其方程可化为
①当0<k<1时,a2=1,b2=1-k,c2=1-(1-k)=k,,∵,∴
②当k<0时,a2=1-k,b2=1,c2=(1-k)-1=-k,,∵,∴,而k<0得,
综上,k的取值范围是
点评:本题综合考查了轨迹方程的求法以及向量与圆锥曲线的综合问题和分类讨论思想的应用,是对知识的综合考查,属于难题.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源:湖南省炎德英才大联考2009届高三第八次月考数学试题(理) 题型:044

已知向量,动点M到定直线y=1的距离等于d,并且满足,其中O是坐标原点,k是参数.

(1)求动点M的轨迹方程;

(2)当时,若直线AC与动点M的轨迹相交于A、D两点,线段AD的垂直平分线交x轴E,求的取值范围;

(3)如果动点M的轨迹是一条圆锥曲线,其离心率e满足,求k的取值范围.

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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

已知向量数学公式,动点M到定直线y=1的距离等于d,并且满足数学公式,其中O是坐标原点,k是参数.
(1)求动点M的轨迹方程,并判断曲线类型;
(2)当数学公式时,求数学公式的最大值和最小值;
(3)如果动点M的轨迹是圆锥曲线,其离心率e满足数学公式,求实数k的取值范围.

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科目:高中数学 来源:2011年陕西省西安市西工大附中高考数学七模试卷(解析版) 题型:解答题

已知向量,动点M到定直线y=1的距离等于d,并且满足,其中O是坐标原点,k是参数.
(1)求动点M的轨迹方程,并判断曲线类型;
(2)当时,求的最大值和最小值;
(3)如果动点M的轨迹是圆锥曲线,其离心率e满足,求实数k的取值范围.

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科目:高中数学 来源:辽宁省大连二十四中2009届高三第五次模拟考试(理) 题型:解答题

 

已知向量,动点M到定直线的距离等于,并且满足,其中为坐标原点,为非负实数.

(I)求动点M的轨迹方程;   

(II)若将曲线向左平移一个单位,得曲线,试判断曲线为何种类型;

(III)若(II)中曲线为圆锥曲线,其离心率满足,当是曲线的两个焦点时,则曲线上恒存在点P,使得成立,求实数的取值范围.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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