Question

设直线（L）的参数方程是

x=t y=b+mt

（t是参数）椭圆（E）的参数方程是

x=1+acosθ，(a≠0) y=sinθ

（θ是参数）问a、b应满足什么条件，使得对于任意m值来说，直线（L）与椭圆（E）总有公共点．

Answer 1

分析：首先题中的直线方程及椭圆方程都是参数方程的形式，需要消去参数化简为一般方程，然后求公共点问题，考虑到联立方程式由求判别式的方法求取值范围即可得到答案．

解答：解：对于直线（L）

x=t   y=b+mt

消去参数，得一般方程y=mx+b；
对于椭圆（E）

x=1+acosθ，(a≠0) y=sinθ

消去参数，得一般方程

(x-1)2

a2

+y2=1．：
消去y，整理得（1+a²m²）x²+2（a²mb-1）x+a²b²-a²+1=0．
（L）、（E）有交点的条件是上式的判别式≥0，即（a²mb-1）²-（1+a²m²）（a²b²-a²+1）≥0．
化简并约去a²得（a²-1）m²-2bm+（1-b²）≥0．对任意m的值，要使这个式子永远成立，条件是
(1)

a2-1＞0 b2-(a2-1)(1-b2)≤0

或(2)

a2-1=0 b=0

解得(1)

|a＞1| - a2-1 |a ≤b≤ a2-1 |a|

或(2)

|a|=1 b=0

或（1）、（2）合写成：

|a|≥1 - a2-1 |a| ≤b≤ a2-1 |a|

即所求的条件．
故答案为

|a|≥1 - a2-1 |a| ≤b≤ a2-1 |a|

．

点评：此题主要考查直线及椭圆参数方程化简一般方程的问题，其中对于求公共点的问题可以把方程联立，然后根据判别式法求得取值范围，属于综合性试题，有一定的计算量．