Question

已知M（-3，0）、N（3，0），P为坐标平面上的动点，且直线PM与直线PN的斜率之积为常数m(m≥-1,m≠0).

(1)求P点的轨迹方程并讨论轨迹是什么曲线？

(2)若m=，P点的轨迹为曲线C，过点Q（2，0）的直线l与曲线C交于不同的两点A、B，设=λ,且λ∈［2,3］,求l在y轴上的截距的变化范围.

Answer 1

解：(1)由·=m,得y²=m(x²-9)，

若m=-1,则方程为x²+y²=9，轨迹为圆；

若-1＜m＜0,则方程为+=1，轨迹为椭圆；

若m＞0,则方程为-=1，轨迹为双曲线.

(2)m=时,曲线C的方程为+=1，

设l的方程为x=ty+2,与曲线C的方程联立得(5t²+9)y²+20ty-25=0，

设A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),则y₁+y₂=,    ①

y₁y₂=,② 

由=λ,得y₂=-λy₁,代入①②,得(1-λ)y₁=,③

λy₁²=,④ 

③式平方除以④式得-2+λ=，

而-2+λ在λ∈［2,3］上单调递增,≤-2+λ≤,≤≤2，

得≤≤3,

l在y轴上的截距为b,b²=()²=∈［,12］,

b∈［-2,］∪［,2］.