Question

已知M、N分别是正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁的棱B₁C₁和B₁B的中点.

(1)求MN与A₁C₁所成角的大小；

(2)求MN与平面ACC₁A₁所成角的大小.

Answer 1

解析：方法一：如图甲，(1)连结BC₁、A₁B.

                甲

∵M、N分别是B₁C₁、B₁B的中点，

∴MN∥BC₁.

∴∠A₁C₁B是MN与A₁C₁所成的角(或其补角).

    而△A₁BC₁为等边三角形，

∴∠A₁C₁B=60°.

∴MN与A₁C₁成60°角.

(2)由(1)可知MN∥BC₁，

∴MN与平面A₁C所成角等于BC₁与平面A₁C所成角.

    连结BD，AC∩BD=O，易证BO⊥平面A₁C.

∴∠BC₁O为BC₁与平面A₁C所成角.

    设正方体棱长为a,则BO=a,BC₁=a.

∴∠BC₁O=30°.

∴MN与平面AC₁所成角为30°.

方法二：(1)设正方体的棱长为1，建立直角坐标系D—xyz(如图乙).

                   乙

    则A₁(1,0,1),C₁(0,1,1),M(,1,1),N(1,1,).∴=(,0,-),=(-1,1,0).

∴cos〈,〉

===-.

∴〈,〉=120°.

    而异面直线所成角在(0，90°］内，

∴MN与A₁C₁成60°角.

(2)设平面A₁C的法向量n=(1,α,β),则n⊥,(1,α,β)·(0，0，1)=0，

∴β=0.

    又n⊥.

∴(1,α,β)·(-1,1,0)=0.

∴a=1.

∴n=(1,1,0).

∴cos〈n, 〉==.

∴〈n, 〉=60°.

∴MN与面AC₁成30°角.