Question

本小题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.
设函数是定义域为R的奇函数．
（1）求k值；
（2）（文）当时，试判断函数单调性并求不等式f(x²＋2x)＋f(x－4)>0的解集；
（理）若f(1)<0，试判断函数单调性并求使不等式恒成立的的取值范围；
（3）若f(1)＝，且g(x)＝a ^2x＋a ^{- 2x}－2m f(x) 在[1，＋∞)上的最小值为－2，求m的值．

Answer 1

解(1)∵f(x)是定义域为R的奇函数，
∴f(0)＝0，                         …………………… 2分
∴1-（k－1）＝0，∴k＝2，           …………………… 4分
（2）（文）

，单调递减，单调递增，故f(x)在R上单调递减。
…………………… 6分
原不等式化为：f(x²＋2x)>f(4－x)
∴x²＋2x<4－x，即x²＋3x－4<0        …………………… 8分
∴，
∴不等式的解集为{x|}．  …………………………10分
（2）（理）

………………6分
单调递减，单调递增，故f(x)在R上单调递减。                                   ………………7分
不等式化为
恒成立，…………… 8分
，解得。…………………… 10分
(3)∵f(1)＝，，即
……………………………………12分
∴g(x)＝2^2x＋2^－2x－2m(2^x－2^－x)＝(2^x－2^－x)²－2m(2^x－2^－x)＋2.
令t＝f(x)＝2^x－2^－x，
由(1)可知f(x)＝2^x－2^－x为增函数
∵x≥1，∴t≥f(1)＝，
令h(t)＝t²－2mt＋2＝(t－m)²＋2－m²　(t≥)………………15分
若m≥，当t＝m时，h(t)_min＝2－m²＝－2，∴m＝2………… 16分
若m<，当t＝时，h(t)_min＝－3m＝－2，解得m＝>，舍去……17分
综上可知m＝2.                ………………………………18分

略