Question

15．已知中心在原点O，左焦点为F₁（-1，0）的椭圆C的左顶点为A，上顶点为B，F₁到直线AB的距离为$\frac{\sqrt{7}}{7}$b．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若椭圆C₁方程为：$\frac{{x}^{2}}{{m}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{n}^{2}}$=1（m＞n＞0），椭圆C₂方程为：$\frac{{x}^{2}}{{m}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{n}^{2}}$=3，若直线y=kx+b与两椭圆C₂、C交于四点（依次为P、Q、R、S），且$\overrightarrow{PS}$+$\overrightarrow{RS}$=2$\overrightarrow{QS}$，原点到点E（k，b）的距离为$\frac{3}{2}$，求直线PS的方程．

Answer 1

分析 （1）由已知条件推导出F₁（-1，0），a²+b²=7（a-1）²，b²=a²-1，由此能求出椭圆C₁的方程．
（2）设Q，R，P，S各点坐标依次为（x₁，y₁），（x₂，y₂），（x₃，y₃），（x₄，y₄），将y=kx+b代入椭圆C方程，得：（3+4k²）x²+8kbx+4b²-12=0，将y=kx+b代入椭圆C₂方程，得：（3+4k²）x²+8kbx+4b²-36=0，由x₁+x₂=x₃+x₄，可得线段PS、QR中点相同，所以|PQ|=|RS|，由$\overrightarrow{PS}+\overrightarrow{RS}=2\overrightarrow{QS}$⇒$\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{QR}$，所以|PS|=3|RQ|，可得：|x₃-x₄|=3|x₁-x₂|，由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式结合已知条件能求出k，b．

解答 解：（1）设椭圆C₁方程为：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0），
∴直线AB方程为：$\frac{x}{-a}+\frac{y}{b}=1$…（1分）
∴F₁（-1，0）到直线AB距离为$d=\frac{|b-ab|}{{\sqrt{{a^2}+{b^2}}}}=\frac{{\sqrt{7}}}{7}b$⇒a²+b²=7（a-1）²…（2分）
又b²=a²-1，解得：a=2，$b=\sqrt{3}$…（4分）
故椭圆C方程为：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．…（5分）
（2）椭圆C₂的方程为：$\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{9}=1$…（6分）
设Q、R、P、S各点坐标依次为（x₁，y₁）、（x₂，y₂）、（x₃，y₃）、（x₄，y₄）
将y=kx+b代入椭圆C方程，得：（3+4k²）x²+8kbx+4b²-12=0
∴${△_1}={（8kb）^2}-4（3+4{k^2}）（4{b^2}-12）=48（4{k^2}+3-{b^2}）＞0$（*）…（7分）
此时：${x_1}+{x_2}=-\frac{8kb}{{3+4{k^2}}}$，${x_1}{x_2}=\frac{{4{b^2}-12}}{{3+4{k^2}}}$$⇒|{x_1}-{x_2}|=\sqrt{{{（{x_1}+{x_2}）}^2}-4{x_1}{x_2}}=\frac{{4\sqrt{3（4{k^2}+3-{b^2}）}}}{{3+4{k^2}}}$…（8分）
将y=kx+b代入椭圆C₂方程，得：（3+4k²）x²+8kbx+4b²-36=0
∴${x_3}+{x_4}=-\frac{8kb}{{3+4{k^2}}}$，${x_3}{x_4}=\frac{{4{b^2}-36}}{{3+4{k^2}}}$$⇒|{x_3}-{x_4}|=\frac{{4\sqrt{3（12{k^2}+9-{b^2}）}}}{{3+4{k^2}}}$…（9分）
∴x₁+x₂=x₃+x₄，可得线段PS、QR中点相同，所以|PQ|=|RS|…（10分）
由$\overrightarrow{PS}+\overrightarrow{RS}=2\overrightarrow{QS}$⇒$\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{QR}$，所以|PS|=3|RQ|，可得：|x₃-x₄|=3|x₁-x₂|
∴$\frac{4\sqrt{3（12{k}^{2}+9-{b}^{2}）}}{3+4{k}^{2}}=3×\frac{4\sqrt{3（4{k}^{2}+3-{b}^{2}）}}{3+4{k}^{2}}$⇒12k²+9=4b²（满足（*）式）．…（11分）
又∵k²+b²=$\frac{9}{4}$，联立上式得：k=0，b=±$\frac{3}{2}$
故直线PS的方程为$y=±\frac{3}{2}$…（12分）

点评 本题考查了椭圆与直线的位置关系，关键是结合图形把已知转化为可用韦达定理、弦长公式，属于难题．