Question

设f（x）是偶函数，且当x≥0时，f（x）=

x(3-x)       ，0≤x≤3 (x-3)(a-x)      ，x＞3

．
（1）当x＜0时，求f（x）的解析式；
（2）设函数f（x）在区间[-5，5]上的最大值为g（a），试求g（a）的表达式；
（3）若方程f（x）=m有四个不同的实根，且它们成等差数列，试探求a与m满足的条件．

Answer 1

分析：（1）设-3≤x＜0、x＜-3，利用已知函数的解析式，即可求得结论；
（2）因为f（x）是偶函数，所以它在区间[-5，5]上的最大值即为它在区间[0，5]上的最大值，分类讨论，即可求得结论；
（3）设这四个根从小到大依次为x₁，x₂，x₃，x₄，则当方程f（x）=m在[-3，3]上有四个实根时，由x₄-x₃=2x₃，且x₄+x₃=3，得x₃=

3

4

，x₄=

9

4

，从而m=f（

3

4

）=

27

16

，且要求f（x）＜

27

16

对x∈（3，+∞）恒成立，由此可得结论．

解答：解：（1）当-3≤x＜0时，f（x）=f（-x）=（-x）（3+x）=-x（x+3）…（2分）
同理，当x＜-3时，f（x）=f（-x）=（-x-3）（a+x）=-（x+3）（a+x），
所以，当x＜0时，f（x）的解析式为f（x）=

-x(x+3)，-3≤x＜0 -(x+3)(a+x)，x＜-3

…（4分）
（2）因为f（x）是偶函数，所以它在区间[-5，5]上的最大值即为它在区间[0，5]上的最大值，
①当a≤3时，f（x）在[0，

3

2

]上单调递增，在[

3

2

，+∞）上单调递减，所以g（a）=f（

3

2

）=

9

4

…（5分）
②当3＜a≤7时，f（x）在[0，

3

2

]与[3，

3+a

2

]上单调递增，在[

3

2

，3]与[

3+a

2

，5]上单调递减，
所以此时只需比较f（

3

2

）=

9

4

与f(

3+a

2

)=

(a-3)2

4

的大小．
1°当3＜a≤6时，f（

3

2

）=

9

4

≥f(

3+a

2

)=

(a-3)2

4

，所以g（a）=f（

3

2

）=

9

4

…（6分）
2°当6＜a≤7时，f（

3

2

）=

9

4

＜f(

3+a

2

)=

(a-3)2

4

，所以g（a）=f(

3+a

2

)=

(a-3)2

4

…（7分）
3°当a＞7时，f（x）在[0，

3

2

]与[3，5]上单调递增，在[

3

2

，3]上单调递减，且f（

3

2

）=

9

4

＜f（5）=2（a-5），所以g（a）=f（5）=2（a-5）…（8分）
综上所述，g（a）=

9 4 ，a≤6 (a-3)2 4 ，6＜a≤7 2(a-5)，a＞7

…（9分）
（3）设这四个根从小到大依次为x₁，x₂，x₃，x₄．
当方程f（x）=m在[-3，3]上有四个实根时，由x₄-x₃=2x₃，且x₄+x₃=3，得x₃=

3

4

，x₄=

9

4

从而m=f（

3

4

）=

27

16

，且要求f（x）＜

27

16

对x∈（3，+∞）恒成立…（10分）
1°当a≤3时，f（x）在（3，+∞）上单调递减，所以f（x）＜f（3）=0＜

27

16

对x∈（3，+∞）恒成立，即a≤3适合题意…（11分）
2°当a＞3时，欲f（x）＜

27

16

对x∈（3，+∞）恒成立，只要f(

3+a

2

)=

(a-3)2

4

＜

27

16

，解得a＜3+

3 3

2

，故此时应满足3＜a＜3+

3 3

2

…（12分）
综上所述，a与m满足的条件为m=

27

16

且a＜3+

3 3

2

．

点评：本题考查函数解析式的确定，考查函数的最值，考查分类讨论的数学思想，考查数列与函数的结合，属于中档题．