Question

已知定点A(1，0)和直线x=-1上的两个动点E、F，且，动点P满足(其中O为坐标原点)．

(1)求动点P的轨迹C的方程；

(2)过点B(0，2)的直线l与(1)中的轨迹C相交于两个不同的点M、N，若＜0，求直线l的斜率的取值范围．

Answer 1

解：(1)设P(x，y)、E(-1，y_E)、F(-1，y_F) 

而=(y_E-2)·(y_F-2)=y_E·y_F+4=0

∴y_E·y_F=-4  ① 

又=(x+1，y-y_E)，=(1-y_E)

而

∴y-y_E=0且x(-y_F)-y=0

∴y_E=y    y_F=-代入①得

y²=4x  (x≠0)

则所求曲线C的方程为y²=4x(x≠0)．

(2)设l：y-2=kx(由图判定k存在)

联立y²=4x消去x得ky²-4y+8=0

令M(x₁，y₁)、N(x₂，y₂)

∴y₁+y₂=  y₁·y₂=

=(x₁-1，y₁)·(x₂-1，y₂)

=x₁x₂-(x₁+x₂)+1+y₁y₂

=+1+y₁y₂

=

-12＜k＜0

则实数k的范围为(-12，0)．