Question

2．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的一条弦所在的直线的方程为x-y+3=0，弦的中点坐标为（-2，1），求椭圆的离心率．

Answer 1

分析 设出以M为中点的弦的两个端点的坐标，代入椭圆的方程相减，把中点公式代入，可得弦的斜率与a，b的关系式．从而求得椭圆的离心率．

解答 解：显然M（-2，1）在椭圆内，设直线与椭圆的交点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{{y}_{1}}^{2}}{{b}^{2}}=1$，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{{y}_{2}}^{2}}{{b}^{2}}=1$，相减得：$\frac{（{x}_{2}-{x}_{1}）（{x}_{2}+{x}_{1}）}{{a}^{2}}$+$\frac{（{y}_{2}+{y}_{1}）（{y}_{2}-{y}_{1}）}{{b}^{2}}$=0，
整理得：k=-$\frac{{b}^{2}（{x}_{2}+{x}_{1}）}{{a}^{2}（{y}_{2}+{y}_{1}）}$=1，
又弦的中点坐标是（-2，1），
∴$\left\{\begin{array}{l}{x}_{2}+{x}_{1}=-4\\{y}_{2}{+y}_{1}=2\end{array}\right.$，
∴$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{1}{2}$，
则椭圆的离心率是e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
椭圆的离心率：$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查椭圆的标准方程和简单性质，中点公式及斜率公式的应用，以及直线方程，属于基础题．本题解题中直接利用点差法巧妙用上了中点坐标公式与弦的斜率，方法极为巧妙，此方法即为通常所说的点差法，研究弦中点问题时经常采用此方法．