Question

已知各项为正的等差数列{a_n}的公差为d=1，且

1

a1a2

+

1

a2a3

=

2

3

．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足：b₁=λ，a_n+1b_n+1+a_nb_n=（-1）ⁿ⁺¹（n∈N），是否存在实数λ，使得数列{b_n}为等比数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：等比数列的性质,等差数列的性质

专题：计算题,存在型,等差数列与等比数列

分析：（1）运用等差数列的性质和通项公式，解方程可得首项，即可得到通项公式；
（2）化简整理条件，可令c_n=

nbn

(-1)n

，则c₁=-b₁=-λ，c_n+1-c_n=1，运用等差数列的通项公式，可得b_n，存在实数λ，使得数列{b_n}为等比数列，则由前三项，解方程可得λ=-1或3．再讨论即可得到结论．

解答： 解：（1）由

1

a1a2

+

1

a2a3

=

a3+a1

a1a2a3

=

2

3

，
由于{a_n}为等差数列，则a₁+a₃=2a₂，
则

2a2

a1a2a3

=

2

3

，即有a₁a₃=3，由于a₁＞0，d=1，
则a₁（a₁+2）=3，解得，a₁=1或-3（舍去），
则有数列{a_n}的通项公式是a_n=a₁+n-1=n；
（2）由a_n+1b_n+1+a_nb_n=（-1）ⁿ⁺¹（n∈N），
即（n+1）b_n+1+nb_n=（-1）ⁿ⁺¹，

(n+1)bn+1

(-1)n+1

-

nbn

(-1)n

=1，
令c_n=

nbn

(-1)n

，则c₁=-b₁=-λ，c_n+1-c_n=1，
数列{c_n}为首项为-λ，公差为1的等差数列，
c_n=

nbn

(-1)n

=n-λ-1，b_n=

(n-λ-1)•(-1)n

n

，
假设存在实数λ，使得数列{b_n}为等比数列，
b₁=λ，b₂=

1-λ

2

，b₃=

λ-2

3

，
则b₂²=b₁b₃，即λ•

λ-2

3

=（

1-λ

2

）²，
解得，λ=-1或3．
当λ=-1时，b_n=（-1）ⁿ，则{b_n}为等比数列，
当λ=3时，b_n=

(n-4)•(-1)n

n

，b₄=0，则{b_n}不为等比数列．
则存在实数λ=-1，使得数列{b_n}为等比数列．

点评：本题考查等差数列和等比数列的通项和性质，考查构造数列求通项，考查运算能力，属于中档题．