Question

（本题满分14分）已知椭圆经过点，为坐标原点，平行于的直线在轴上的截距为.

 （1）当时，判断直线与椭圆的位置关系（写出结论，不需证明）；

（2）当时，为椭圆上的动点，求点到直线    距离的最小值；

 （3）如图，当交椭圆于、两个不同点时，求证：直线、与轴始终围成一个等腰三角形.

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

解：（1）当时，直线与椭圆相离.   ……2分

（2）可知直线的斜率为 

设直线与直线平行，且直线与椭圆相切，

设直线的方程为             --------------------------------- 3分

联立，得  --------------------------------- 4分

，解得   --------------------------------- 5分

直线的方程为.

 

所求点到直线的最小距离等于直线到直线的距离

.   ------------------------------ 7分

（3）由

若点与关于x轴对称，则，

此时直线：.

由上题知，直线与椭圆相切，不合题意.

故设直线、的斜率分别为，，

只需证明+即可.

设，

，            -----------------------------9分

 

而 ----------- 10分  

 

            ----------- 12分

 

∴+

直线、与轴始终围成一个等腰三角形  ---------------------------------------14分

【解析】略