已知等差数列{an}的首项为a.公差为b.等比数列{bn}的首项为b.公比为a.其中a.b都是大于1的正整数.且a1＜b1.b2＜a3． (1)求a的值, (2)若对于任意的n∈N*.总存在m∈N*.使得am+3＝bn成立.求b的值, (3)令cn＝an+1+bn.问数列{cn}中是否存在连续三项成等比数列?若存在.求出所有成等比数列的连续三项,若不存在.请说明� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

精英家教网 > 高中数学 > 题目详情

（本小题满分16分）
已知等差数列{a_n}的首项为a，公差为b，等比数列{b_n}的首项为b，公比为a，其中a，b都是大于1的正整数，且a₁＜b₁，b₂＜a₃．
（1）求a的值；
（2）若对于任意的n∈N*，总存在m∈N*，使得a_m＋3＝b_n成立，求b的值；
（3）令c_n＝a_n₊₁＋b_n，问数列{c_n}中是否存在连续三项成等比数列？若存在，求出所有成等比数列的连续三项；若不存在，请说明理由．

解：（1）由已知，得a_n＝a＋(n－1)b，b_n＝baⁿ⁻¹．由a₁＜b₁，b₂＜a₃，得a＜b,ab＜a＋2b．
因a，b都为大于1的正整数，故a≥2．又b＞a，故b≥3．
再由ab＜a＋2b，得(a－2)b＜a．由a＜b，故(a－2)b＜b，即(a－3)b＜0．
由b≥3，故a－3＜0，解得a＜3．于是2≤a＜3，根据a∈N，可得a＝2
（2）a_m＋3＝2＋(m－1)b＋3＝b_n，∴b_n＝(m－1)b＋5＝b·2ⁿ⁻¹∴5＝b·(2ⁿ⁻¹－m＋1)
∴5一定是b的倍数∵b≥3∴b＝5；此时，2ⁿ⁻¹－m＋1＝1，即m＝2ⁿ⁻¹．∴b＝5
（3）设数列{c_n}中，c_n,c_n₊₁,c_n₊₂成等比数列，
由c_n＝2＋nb＋b·2ⁿ⁻¹，得2＝c_nc_n₊₂，
即：(2＋nb＋b＋b·2ⁿ)²＝(2＋nb＋b·2ⁿ⁻¹)·(2＋nb＋2b＋b·2ⁿ⁺¹)．
化简得b＝2ⁿ＋(n－2)·b·2ⁿ⁻¹．（※）
当n＝1时，由（※）式得：b＝1，与题意矛盾．
当n＝2时，由（※）式得：b＝4．即c₂、c₃、c₄成等比数列，c_n＝2＋4n＋2ⁿ⁺¹，
∴c₂＝18、c₃＝30、c₄＝50．
当n≥3时，b＝2ⁿ＋(n－2)·b·2ⁿ⁻¹＞(n－2)·b·2ⁿ⁻¹≥4b，这与b≥3矛盾．
综上所述，当b≠4时，不存在连续三项成等比数列；当b＝4时，数列{c_n}中的第二、三、四项成等比数列，这三项依次是18、30、50．

练习册系列答案

亮点激活精编提优100分大试卷系列答案

同步辅导与能力训练阶段综合测试卷系列答案

年级	高中课程	年级	初中课程
高一	高一免费课程推荐！	初一	初一免费课程推荐！
高二	高二免费课程推荐！	初二	初二免费课程推荐！
高三	高三免费课程推荐！	初三	初三免费课程推荐！
更多初中、高中辅导课程推荐,点击进入>>