Question

已知f（x+1）=f（x-1），f（x）=f（-x+2），方程f（x）=0在[0，1]内有且只有一个根x=

1

2

，则f(x)=0在区间[0，2013]内根的个数为（　　）

A．2011

B．1006

C．2013

D．1007

Answer 1

分析：由条件推出f（1-x）=f（1+x），进而推出f（x）为偶函数，且f（x）是周期等于2的周期函数，根据f（

1

2

）=0，求出f（

3

2

））=0，从而得到函数f（x）在一个周期的零点个数，且函数f（x）在每两个整数之间都有一个零点，从而得到f（x）=0在区间[0，2013]内根的个数．

解答：解：∵f（x）=f（-x+2），∴f（x）的图象关于直线x=1对称，即f（1-x）=f（1+x）．
又f（x+1）=f（x-1），∴f（x-1）=f（1-x），即f（x）=f（-x），故函数f（x）为偶函数．
再由f（x+1）=f（x-1）可得f（x+2）=f（x），故函数f（x）是周期等于2的周期函数，
∵f（

1

2

）=0，
∴f（-

1

2

）=0，再由周期性得f（-

1

2

+2）=f（

3

2

）=0，
故函数f（x）在一个周期[0，2]上有2个零点，即函数f（x）在每两个整数之间都有一个零点，
∴f（x）=0在区间[0，2013]内根的个数为2013，
故选C；

点评：本题主要考查方程的根的存在性及个数判断，函数的奇偶性与周期性的应用，抽象函数的应用，体现了化归与转化的数学思想，属于中档题．