Question

随着人们对环境关注度的提高，绿色低碳出行越来越受到市民重视，为此成都市建立了公共自行车服务系统，市民凭本人二代身份证到公共自行车服务中心办理诚信借车卡借车，初次办卡时卡内预先赠送20分，当积分为0时，借车卡将自动锁定，限制借车，用户应持卡到公共自行车服务中心以1元购1个积分的形式再次激活该卡，为了鼓励市民租用公共自行车出行，同时督促市民尽快还车，方便更多的市民使用，公共自行车按每车每次的租用时间进行扣分收费，具体扣分标准如下：
①租用时间不超过1小时，免费；
⑦租用时间为1小时以上且不超过2小时，扣1分；
③租用时间为2小时以上且不超过3小时，扣2分；
④租用时间超过3小时，按每小时扣2 分收费（不足1小时的部分按1小时计算）．
甲、乙两人独立出行，各租用公共自行车一次，两人租车时间都不会超过3小时，设甲、乙租用时间不超过一小时的概率分别是0.5和0.6；租用时间为1小时以上且不超过2小时的概率分别是0.4和0.2．
（1）求甲、乙两人所扣积分相同的概率；
（2）设甲、乙两人所扣积分之和为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望Eξ．

Answer 1

分析：（1）分别记“甲扣0、1、2分”为事件A₁，A₂，A₃，它们彼此互斥，分别记“乙扣0、1、2分”为事件B₁，B₂，B₃，它们彼此互斥，由题知，A₁，A₂，A₃与B₁，B₂，B₃相互独立，记甲、乙两人所扣积分相同为事件M，则M=A₁B₁+A₂B₂+A₃B₃，从而可求概率；
（2）ξ的可能取值为：0，1，2，3，4，求出相应的概率，可得ξ的分布列和数学期望Eξ．

解答：解：（1）根据题意，得下表，其中t表示租用时间（单位：小时）：

	0＜t≤1扣0分	1＜t≤2扣1分	2＜t≤3扣2分
甲	0.5	0.4	0.1
乙	0.6	0.2	0.2

分别记“甲扣0、1、2分”为事件A₁，A₂，A₃，它们彼此互斥，且P（A₁）=0.5，P（A₂）=0.4，P（A₃）=0.1
分别记“乙扣0、1、2分”为事件B₁，B₂，B₃，它们彼此互斥，且P（B₁）=0.6，P（B₂）=0.2，P（B₃）=0.2
由题知，A₁，A₂，A₃与B₁，B₂，B₃相互独立，…（2分）
记甲、乙两人所扣积分相同为事件M，则M=A₁B₁+A₂B₂+A₃B₃
所以P（M）=0.5×0.6+0.4×0.2+0.1×0.2=0.4…（4分）
（2）ξ的可能取值为：0，1，2，3，4…（5分）
P（ξ-0）=0.5×0.6=0.3，P（ξ=1）=0.5×0.2+0.4×0.6=0.34，P（ξ=2）=0.5×0.2+0.4×0.2+0.1×0.6=0.24，
P（ξ=3）=0.4×0.2+0.1×0.2=0.1，P（ξ=4）=0.1×0.2=0.02…（8分）
所以ξ的分布列为：

ξ	0	1	2	3	4
P	0.3	0.34	0.24	0.1	0.02

ξ的数学期望Eξ=0×0.3+1×0.34+2×0.24+3×0.1+4×0.02=1.2…（11分）
答：甲、乙两人所扣积分相同的概率为0.4，ξ的数学期望为1.2…（12分）

点评：本题考查概率的计算，考查随机变量的分布列和数学期望Eξ，考查学生的计算能力，属于中档题．