Question

已知向量，其中ω＞0，记函数，已知f（x）的最小正周期为π．
（1）求f（x）的解析式；
（2）说出由y=sinx的图象经过如何的变换可得到f（x）的图象；
（3）当时，试求f（x）的值域．

Answer 1

解：（1）f（x）=sinωxcosωx+cos²ωx=sin2ωx+（1+cos2ωx）
=sin（2ωx+）+
∵ω＞0，∴T=π=，∴ω=1．
f（x）=sin（2x+）+，
（2）y=sinx的图象向左平移个单位得的图象
再由图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，
得到y=sin（2x+）的图象，
最后再向上平移个单位就得到f（x）=sin（2x+）+的图象．
（3）由（1），得∵0＜x＜，
∴＜2x+＜．
∴f（x）∈（1，]
∴求f（x）的值域为：（1，]．
分析：（1）由函数f（x）=•转化为sin（2ωx+）+，利用周期公式求得ω，即可得出f（x）的解析式；
（2）函数y=sinx的图象经过左右平移，得的图象，然后是横坐标变伸缩变换，纵坐标不变，可得到y=sin（2x+）的图象，最后再向上平移个单位就得到f（x）=sin（2x+）+的图象．
（3）由（1）得f（x）=sin（2x+）+，由0＜x＜，得＜2x+＜，再利用整体思想求解求f（x）的值域．
点评：本题主要考查用向量运算将函数转化为一个角的一种三角函数，进一步研究三角函数的周期性和值域．