Question

4．卵形线是常见曲线的一种，分笛卡尔卵形线和卡西尼卵形线，卡西尼卵形线是平面内与两个定点（叫做焦点）距离之积等于常数的点的轨迹．某同学类比椭圆与双曲线对卡西尼卵形线进行了相关性质的探究，设焦点F₁（-c，0），F₂（c，0）是平面内两个定点，|PF₁|•|PF₂|=a²（a是定长），得出卡西尼卵形线的相关结论：
①当a=0，c=1时，次轨迹为两个点F₁（-1，0），F₂（1，0）；
②若a=c，则曲线过原点；
③若0＜a＜c，则曲线不存在；
④既是轴对称也是中心对称图形．
其中正确命题的序号是①②③④．

Answer 1

分析 由题意设P（x，y），则$\sqrt{（x+c）^{2}+{y}^{2}}•\sqrt{（x-c）^{2}+{y}^{2}}$=a²，即[（x+c）²+y²]•[（x-c）²+y²]=a⁴，对4个选项加以验证，即可得出结论．

解答 解：由题意设P（x，y），则$\sqrt{（x+c）^{2}+{y}^{2}}•\sqrt{（x-c）^{2}+{y}^{2}}$=a²，
即[（x+c）²+y²]•[（x-c）²+y²]=a⁴，
①当a=0，c=1时，轨迹为两个点F₁（-1，0），F₂（1，0），正确；
②a=c，（0，0）代入，方程成立则曲线过原点，即故②正确；
③∵（|PF₁|+|PF₂|）_min=2c，（当且仅当，|PF₁|=|PF₂|=c时取等号），
∴（|PF₁||PF₂|）_min=c²，
∴若0＜a＜c，则曲线不存在，故③正确；
④把方程中的x被-x代换，方程不变，故此曲线关于y轴对称；
把方程中的y被-y 代换，方程不变，故此曲线关于x轴对称；
把方程中的x被-x代换，y被-y 代换，方程不变，
故此曲线关于原点对称；故④正确；
故答案为：①②③④．

点评 本题考查新定义，考查学生分析解决问题的能力，正确运用新定义是关键．