Question

△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，且4sin²

B+C

2

-cos2A=

7

2

．
（1）求∠A；
（2）若a=7，△ABC的面积为10

3

，求b+c的值．

Answer 1

分析：（1）先根据二倍角的余弦函数公式及诱导公式化简得到关于cosA的一元二次方程，解出cosA，根据角的范围，利用特殊角的三角函数值求出A即可；
（2）利用余弦定理得到①及三角形的面积公式得到②，联立①②化简可得b+c的值．

解答：解：（1）由4sin²

B+C

2

-cos2A=

7

2

得：
4[1-cos（B+C）]-cos2A=

7

2

，可得：
4cos²A-4cosA+1=0，
解得cosA=

1

2

，
∴∠A=

π

3

．

（2）由a=7及∠A=

π

3

，根据余弦定理得：a²=7²=b²+c²-2bccos

π

3

①，
根据面积公式得S=10

3

=

1

2

bcsin

π

3

②，
联立①②得到（b+c）²=169，
所以b+c=13．

点评：考查学生灵活运用余弦定理、三角形的面积公式化简求值，利用二倍角的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简求值．做题时应注意在等式中找关系整体代入即可求出所求的值．