Question

（2012•湖南模拟）已知函数f(x)=

1

2

x2+x-(x+1)ln(x+1)
（1）判断f（x）的单调性；
（2）记φ（x）=f′（x-1）-k（x-1），若函数φ（x）有两个零点x₁，x₂（x₁＜x₂），求证：φ′(

x1+x2

2

)＞0．

Answer 1

分析：（1）确定函数的定义域，确定导数的正负，可得f（x）的单调性；
（2）利用函数φ（x）有两个零点x₁，x₂（x₁＜x₂），两式相减，求出φ（x）=f′（x-1）-k（x-1）的导函数，确定单调性，即可证得结论．

解答：（1）解：函数定义域为（-1，+∞），f'（x）=x-ln（x+1），
记g（x）=x-ln（x+1）g′(x)=1-

1

x+1

=

x

x+1

，（3分）
当x∈（-1，0）时，g'（x）＜0，g（x）在（-1，0）递减，
当x∈（0，+∞）时，g'（x）＞0，g（x）在（0，+∞）递增，
∴x∈（-1，+∞），g（x）≥0，
即当x∈（-1，+∞），f'（x）≥0，
∴f（x）在（-1，+∞）递增 （6分）
（2）证明：由（1）可知φ（x）=x-1-lnx-k（x-1），
由题意：x₁-1-lnx₁-k（x₁-1）=0，x₂-1-lnx₂-k（x₂-1）=0，
两式相减得：x1-x2-ln

x1

x2

=k(x1-x2)，即有k=1-

1

x1-x2

ln

x1

x2

，
又因为φ′(x)=1-

1

x

-k，所以φ′(

x1+x2

2

)=1-

2

x1+x2

-k=

1

x1-x2

ln

x1

x2

-

2

x1+x2

（9分）
现考察ln

x1

x2

-

2(x1-x2)

x1+x2

=ln

x1

x2

-

2( x1 x2 -1)

x1 x2 +1

，
令

x1

x2

=t(0＜t＜1)，设γ(t)=lnt-

2(t-1)

t+1

(0＜t＜1)，则γ′(t)=

(t-1)2

t(t+1)2

＞0，
所以γ（t）在t∈（0，1）递增，所以γ（t）＜γ（1）=0，ln

x1

x2

-

2(x1-x2)

x1+x2

＜0，
又因为x₁-x₂＜0，所以φ′(

x1+x2

2

)=

1

x1-x2

ln

x1

x2

-

2

x1+x2

＞0（13分）

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，有一定的难度．