Question

已知{a_n}是公差不为零的等差数列，a₁=1，a₁，a₃，a₉成等比数列．求：
（I）数列{a_n}的通项公式；
（II）数列的前n项和S_n．

Answer 1

解：（I）设等差数列{a_n}的公差为d，由题意知d为非零常数
∵a₁=1，a₁、a₃、a₉成等比数列
∴a₃²=a₁×a₉，即（1+2d）²=1×（1+8d），解之得d=1（舍去0）
因此，数列{a_n}的通项公式为a_n=1+（n-1）×1=n；
（II）由（I）得=n×2ⁿ
∴S_n=1×2¹+2×2²+3×2³+…+（n-1）×2^n-1+n×2ⁿ…①
两边都乘以2，得2S_n=1×2²+2×2³+3×2⁴+…+（n-1）×2ⁿ+n×2ⁿ⁺¹…②
①-②可得：-S_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n×2ⁿ⁺¹=-n×2ⁿ⁺¹=2ⁿ⁺¹（1-n）-2
∴S_n=（n-1）2ⁿ⁺¹+2．
分析：（I）设等差数列{a_n}的公差为d，根据a₁，a₃，a₉成等比数列建立关于d的方程，解之即可得到d=1（舍去0），由此代入等差数列的通项公式，即可得到数列{a_n}的通项公式；
（II）由（I）可得=n×2ⁿ，利用错位相减法结合等比数列求和公式，即可得到数列的前n项和S_n的值．
点评：本题给出等差数列{a_n}的第1、3、9项成等比数列，求它的通项公式并求数列的前n项和．着重考查了等差数列的通项公式、错位相减法求和和等比数列求和公式等知识点，属于中档题．