Question

设f（x）=x（x-1）（x+1），请问下列哪些选项是正确的？
（1）f(

1

2

)＞0（2）f（x）=2有整数解    （3）f（x）=x²+1有实数解   （4）f（x）=x有不等于零的有理数解
（5）若f（a）=2，则f（-a）=2．

Answer 1

分析：（1）把

1

2

代入f（x）可得结论错误；（2）方程f（x）=2有整数解，即x³-x-2=0有整数解，构造函数g（x）=x³-x-2有整零点，利用反证法即可得到结论；（3）方程 f（x）=x²+1有实数解，即x³-x²-x-1=0为一整系数三次方程式，此方程式必有三个根；因为虚根必成共轭虚根出现，故此方程式必有一实根；（4）f（x）=x有不等于零的有理数解，即x（x-1）（x+1）=x，解此方程即可求得结论；（5）f（x）=x（x-1）（x+1）是奇函数，因此f（a）=2，则f（-a）=-2．

解答：解：（1）f(

1

2

)=

1

2

(

1

2

-1)(

1

2

+1)=

1

2

(

1- 2

2

)(

1

2

+1)＜0(∵1-

2

＜0)
（2）f（x）=2?x（x-1）（x+1）=2?x³-x-2=0
令g（x）=x³-x-2
若

b

a

为g（x）=0的有理根，则a|1，b|2，故

b

a

可为±1，±2．
但g（1）≠0，g（-1）≠0，g（2）≠0，g（-2）≠0，故g（x）=x³-x-2=0没有整数解，即f（x）=x³-x=2没有整数解．
（3）f（x）=x²+1?x³-x=x²+1?x³-x²-x-1=0为一整系数三
次方程式，此方程式必有三个根；因为虚根必成共轭虚根出
现，故此方程式必有一实根．
（4）f(x)=x?x(x-1)(x+1)=x?x(x2-2)=0?x=0或±

2

，
故f（x）=x没有不等于0的有理根．
（5）f（a）=2?a（a-1）（a+1）=2，则f（-a）=-a（-a-1）（-a+1）=-a（a+1）（a-1）=-2
故正确的是（3）

点评：此题是中档题．考查函数的零点与方程根之间的关系，以及函数的奇偶性，是道综合题，同时考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力和计算能力．