Question

12．已知F是双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左焦点，E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围为（　　）

• A． （1，2）
• B． （2，1+$\sqrt{2}$）
• C． （$\frac{1}{2}$，1）
• D． （1+$\sqrt{2}$，+∞）

Answer 1

分析 根据双曲线的对称性，得到等腰△ABE中，∠AEB为锐角，可得|AF|＜|EF|，将此式转化为关于a、c的不等式，化简整理即可得到该双曲线的离心率e的取值范围．

解答 解：根据双曲线的对称性，得
△ABE中，|AE|=|BE|，
△ABE是锐角三角形，即∠AEB为锐角，
由此可得Rt△AFE中，∠AEF＜45°，
得|AF|＜|EF|
∵|AF|=$\frac{{b}^{2}}{a}$=$\frac{{c}^{2}-{a}^{2}}{a}$，|EF|=a+c，
∴$\frac{{c}^{2}-{a}^{2}}{a}$＜a+c，即2a²+ac-c²＞0，
两边都除以a²，得e²-e-2＜0，解之得-1＜e＜2，
∵双曲线的离心率e＞1，
∴该双曲线的离心率e的取值范围是（1，2）
故选：A．

点评 本题给出双曲线过一个焦点的通径与另一个顶点构成锐角三角形，求双曲线离心率的范围，着重考查了双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于中档题．