Question

在数列{a_n}中，a₁=1，3a_na_n﹣1+a_n﹣a_n﹣1=0（n≥2，n∈N*）．
（1）试判断数列是否成等差数列；
（2）设{b_n}满足b_n=，求数列{b_n}的前n项和S_n；
（3）若λa_n+≥λ对任意n≥2的整数恒成立，求实数λ的取值范围．

Answer 1

解 ∵数列{a_n}中，a₁=1，3a_na_n﹣1+a_n﹣a_n﹣1=0（n≥2，n∈N*），
∴a_n﹣1﹣a_n=3a_na_n﹣1，∴（n≥2）．
故数列{}是等差数列．
（2）由（1）的结论可得b_n==1+（n﹣1）×3，
所以b_n=3n﹣2，∴S_n==．
（3）将a_n==代入λa_n+≥λ并整理得λ（1﹣）≤3n+1，
∴λ≤，原命题等价于该式对n≥2恒成立．
设C_n=，则C_n+1﹣C_n=＞0，C_n+1＞C_n，
∵n=2时，C_n的最小值C₂为，∴λ的取值范围是（﹣∞，]．