Question

已知方程x²＋（4＋i）x＋4＋ai＝0（a∈R）有实数根b,且z=a+bi，求复数（1－ci）（c＞0）的辐角主值的取值范围

Answer 1

解：∵方程x²＋（4＋i）x＋4＋ai＝0（a∈R）有实根b,

∴b²＋（4＋i）b＋4＋ai＝0，

得b²＋4b＋4＋（b＋a）i＝0，

 

即有

 

∴，

 

得z=a+bi=2－2i，

∴（1－ci）＝（2＋2i）（1－ci）＝2＋2c＋（2－2c）i．当0≤c≤1时，

复数（1－ci）的实部大于0，虚部不小于0，

∴复数（1－ci）的辐角主值在［0，）范围内，

 

有arg［（1－ci）］＝arctg＝arctg（－1），

 

∵0＜c≤1，∴0≤－1＜1，

 

有0≤arctg（－1）＜，

 

∴0≤arg［（1－ci）］＜．

 

当c＞1时，复数z（1－ci）的实部大于0，虚部小于0，

 

∴复数 (1－ci）的辐角主值在（，2π）范围内，

 

有arg［（1－ci）］＝2π＋arctg＝2π＋arctg（－1）．

 

∵c＞1，∴－1＜－1＜0，

 

有－＜arctg（－1）＜0，

 

∴＜arg［（1－ci）］＜2π．

综上所得复数（1－ci）（c＞0）的辐角主值的取值范围为［0，）∪（，2π）．

 

评述：本题主要考查复数的基本概念和考生的运算能力，强调了考生思维的严谨性.