Question

（文）f(x)=4cosxsin2(

π

4

+

x

2

)+

3

cos2x-2cosx．
（1）求f（x）的周期；
（2）若B为△ABC的内角且f（B）=2，求角B；
（3）若B为△ABC的内角且f（B）-m＞2恒成立，求实数m取值范围．

Answer 1

分析：（1）欲求f（x）的周期，须将函数f（x）化成一个角的一个三角函数的形式才好求解，故先利用三角函数的和角公式、二倍角公式将原函数化成一个三角函数的形式，最后利用周期公式即可求解；
（2）利用（1）中化得的f（x）的形式，由f（B）=2得到一个关于角B的方程，解此三角方程即可求得角B；
（3）利用三角函数的有界性，最终转化为2+m小于2sin(2B+

π

3

)的最小值即可，从而求出实数m取值范围．

解答：解：（1）f(x)=4cosx

1-cos( π 2 +x)

2

+

3

cos2x-2cosx
=2cosx（1+sinx）+

3

cos2x-2cosx=sin2x+

3

cos2x=2sin(2x+

π

3

).T=

2π

2

=π．
（2）∵f（B）=2，∴2sin(2B+

π

3

)=2，
∴2B+

π

3

=

π

2

，∴B=

π

12

．
（3）f（B）-m＞2恒成立，即2sin(2B+

π

3

)＞2+m恒成立，
∵0＜B＜π，
∴-2≤2sin(2B+

π

3

)≤2，∴2+m＜-2，∴m＜-4．

点评：本题主要考查了函数恒成立问题、同角三角函数基本关系的运用、三角函数的周期性及其求法等知识．属于基础题．