Question

9．已知约束条件$\left\{{\begin{array}{l}{x+2y≤10}\\{2x+y≥6}\\{y≥0}\end{array}}$．
（1）在如图网格线内建立坐标系，并画出可行域；
（2）求目标函数z=$\frac{2x+y+3}{x+1}$的最值并指出取得最值时的最优解．

Answer 1

分析 （1）根据二元一次不等式组表示平面区域，进行作图即可．
（2）根据方式函数的性质，结合线性规划的知识进行求解即可．

解答 解：（1）不等式组对应的平面区域如图：
（2）z=$\frac{2x+y+3}{x+1}$=$\frac{2（x+1）+y+1}{x+1}$=2+$\frac{y+1}{x+1}$，
设k=$\frac{y+1}{x+1}$，
则k的几何意义是区域内的点到定点D（-1，-1）的斜率，
由图象知AD的斜率最大，CD的斜率最小，
由$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{x+2y=10}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=10}\end{array}\right.$，即C（10，0），则CD的斜率k=$\frac{0+1}{10+1}$=$\frac{1}{11}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{x+2y=10}\\{2x+y=6}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{2}{3}}\\{y=\frac{14}{3}}\end{array}\right.$，即A（$\frac{2}{3}$，$\frac{14}{3}$），AD的斜率k=$\frac{\frac{14}{3}+1}{\frac{2}{3}+1}$=$\frac{17}{5}$，
即$\frac{1}{11}$≤k≤$\frac{17}{5}$，
则$\frac{23}{11}$≤k+2≤$\frac{27}{5}$，
即$\frac{23}{11}$≤z≤$\frac{27}{5}$．

点评 本题主要考查线性规划的应用，利用分式的性质结合数形结合是解决本题的关键．