Question

已知点B（6，0）和点C（-6，0），过点B的直线l与过点C的直线m相交于点A，设直线l的斜率为k₁，直线m的斜率为k₂，
（1）如果k₁•k₂=-

4

9

，求点A的轨迹方程，并写出此轨迹曲线的焦点坐标；
（2）如果k₁•k₂=

4

9

，求点A的轨迹方程，并写出此轨迹曲线的离心率；
（3）如果k₁•k₂=k（k≠0，k≠-1），根据（1）和（2），你能得到什么结论？（不需要证明所得结论）

Answer 1

分析：（1）求出直线l、m的斜率，利用k₁•k₂=-

4

9

，化简方程，即可求得结论；
（2）求出直线l、m的斜率，利用k₁•k₂=

4

9

，化简方程，即可求得结论；
（3）求出直线l、m的斜率，利用k₁•k₂=k，化简方程，对参数讨论，即可求得结论；

解答：解：（1）直线l过点B（6，0），斜率为k₁，则其直线方程为：y-0=k₁（x-6），所以，k₁=

y

x-6

同理，k₂=

y

x+6

∵k₁•k₂=-

4

9

，∴

y

x-6

•

y

x+6

=-

4

9

，
∴9y²=-4（x²-36）
∴

x2

36

+

y2

16

=1，它表示椭圆，焦点坐标为（±2

5

，0）；
（2）∵k₁•k₂=

4

9

，∴

y

x-6

•

y

x+6

=

4

9

，∴9y²=4（x²-36）
∴

x2

36

-

y2

16

=1，它表示双曲线，离心率为

13

3

；
（3）∵k₁•k₂=k，∴

y

x-6

•

y

x+6

=k，∴y²=k（x²-36）
∴

x2

36

-

y2

36k

=1
当k＞0时，表示双曲线； 当k＜0且k≠-1时，表示椭圆；当k=-1时，表示圆．

点评：本题考查轨迹方程，考查学生的计算能力，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．