Question

解答题： 从椭圆＋＝1(a＞b＞0)上一点M向x轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F1，且它的长轴右端点A与短轴上端点B的连线AB//OM． (1) 求椭圆的离心率； (2) Q是椭圆上任意一点，F2是右焦点，求∠F1QF2的取值范围； (3) 过F1作AB的平行线交椭圆于C、D两点，若|CD|＝3，求椭圆的方程．

Answer 1

答案：
解析：

(1)	解：由已知可设M(－c,y)． 则有＋＝1． 因为M在第二象限，所以M(－c,)．…………2分 又由AB∥OM，可知kAB＝kOM． ∴－＝－．…………3分 ∴b＝c,∴a＝b．…………4分 ∴e＝＝．…………5分
(2)	解：设|F1Q|＝m,|F2Q|＝n,则m＋n＝2a,mn＞0． |F1F2|＝2c,a2＝2c2． ∴cos∠F1QF2＝＝ ＝－1＝…………6分 ≥－1＝－1＝0．…………7分 当且仅当m＝n＝a时，等号成立．…………8分 故∠F1QF2∈[0，]．…………9分
(3)	解：∵CD∥AB，kCD＝－＝－． 设直线CD的方程为y＝－(x＋c),即y＝－(x＋b)．…………10分 则消去y整理得 (a2＋2b2)x2＋2a2bx－a2b2＝0．…………11分 设C(x1,y1),D(x2,y2),∵a2＝2b2, ∴x1＋x2＝－＝－＝－b, x1·x2＝－＝－＝－． ∴|CD|＝|x1－x2|＝· ＝·＝＝3．…………13分 ∴b2＝2,则a2＝4． ∴椭圆的方程为＝1．…………14分