Question

已知M（2，1），N（-1，2），在下列方程的曲线上，存在点P满足|MP|=|NP|的曲线是（　　）

A．3x-y+1=0	B．x2+y2-4x+3=0
C． x2 2 +y2=1	D． x2 2 -y2=1

Answer 1

连接MN，设MN的方程为y=kx+b，倾斜角为α
代入M，N的坐标，有
2k+b=1
-k+b=2
解得k=-

1

3

，b=

5

3

即tanα=

sinα

cosα

=-

1

3

MN的方程为y=-

x

3

+

5

3

，x∈[-1，2]
设MN的中点坐标为Q（a，-

a

3

+

5

3

）
有|QM|²=|QN|²
（a-2）²+（-

a

3

+

5

3

-1）²=[a-（-1）]²+（-

a

3

+

5

3

-2）²
解得a=

1

2

得Q（

1

2

，

3

2

）
与MN垂直的直线斜率为
tan（

π

2

+α）=

sin( π 2 +α)

cos( π 2 +α)

=-

cosα

sinα

=3
设MN垂直平分线的方程为y=3x+c
代入Q（

1

2

，

3

2

），得
3×

1

2

+c=

3

2

得c=0
MN垂直平分线的方程为y=3x
可知y=3x上的点到M的距离与到N的距离相等，则点P在y=3x上，同时又在A，B，C，D中的一个曲线上，即两个图象有交点
A.3x-y+1=0
即y=3x+1
3x+1=3x不成立，两个图象无交点
B．y=3x代入x²+y²-4x+3=0，得
10x²-4x+3=0
判别式△=（-4）²-4×10×3=-104＜0
两个图象无交点
C．y=3x代入

x2

2

+y2=1，得

x2

2

+(3x)2=1，解得x=±

2 19

19

3*（±2√19/19）═±6√19/19
得P（

2 19

19

，

6 19

19

）或（-

2 19

19

，-

6 19

19

）
D．y=3x代入

x2

2

-y2=1，得

17x2

2

+1═0
判别式△=0²-4×（17/2）×1=-34＜0
两个图象无交点
只有C选项正确
故选C