Question

【题目】在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A，B，C三点满足 = + ． （Ⅰ）求证：A，B，C三点共线；
（Ⅱ）已知A（1，cosx），B（1+sinx，cosx），x∈[0， ]，f（x）= ﹣（2m2+ ）| |的最小值为 ，求实数m的值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）证明：根据条件：

=

=

= ；

∴ ；

∴A，B，C三点共线；

（Ⅱ）根据条件： ， = ， ，且 ；

∴ = ， ；

∴

=﹣sin2x﹣2m2sinx+2

=﹣（sinx+m2）2+m4+2；

又sinx∈[0，1]；

∴sinx=1时，f（x）取最小值 ；

即 ；

∴ ；

∴ ．

【解析】（Ⅰ）将 代入 ，然后进行向量的数乘运算即可得出 ，从而得出A，B，C三点共线；（Ⅱ）由条件即可求出 的坐标，进而求出 ，及 的值，代入 并化简即可得出f（x）=﹣sin2x2m2sinx+2，而配方即可得出sinx=1时，f（x）取最小值 ，从而得到 ，这样即可解出m的值．