Question

在△ABC中角A、B、C的对边分别为a、b、c设向量

m

=（a，cosB），

n

=（b，cosA）且

m

∥

n

，

m

≠

n

（Ⅰ）若sinA+sinB=

6

2

，求A；
（Ⅱ）若△ABC的外接圆半径为1，且abx=a+b试确定x的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由两个向量共线的性质求得sin2A=sin2B，故A+B=

π

2

．再由sinA+sinB=

6

2

，求得sin(A+

π

4

)=

3

2

，可得A+

π

4

=

π

3

或A+

π

4

=

2π

3

，由此求得A的值．
（Ⅱ）由条件结合正弦定理可得 x=

sinA+sinB

2sinAsinB

，设 sinA+cosA=t，t∈（1，

2

），根据 x=

t

t2-1

=

1

t- 1 t

＞

2

，求得实数x的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）因为向量

m

=（a，cosB），

n

=（b，cosA）且

m

∥

n

，

m

≠

n

，所以，acosA=sinB．--------（1分）
由正弦定理，可得sinAcosA=sinBcosB，即 sin2A=sin2B．--------------（2分）
所以 2A+2B=π，即 A+B=

π

2

．-------（3分）
再由sinA+sinB=

6

2

，以及sinA+sinB=sinA+cosA=

2

sin（A+

π

4

），可得 sin(A+

π

4

)=

3

2

．------（4分）
由于 A为锐角，故有A+

π

4

=

π

3

 或A+

π

4

=

2π

3

，∴A=

π

12

，或

5π

12

．------（6分）
（Ⅱ）若△ABC的外接圆半径为1，且abx=a+b，则 x=

a+b

ab

，由正弦定理，得x=

sinA+sinB

2sinAsinB

．-----（8分）
设 sinA+cosA=t，t∈（1，

2

），则 t²=1+2sinAcosA，∴sinAcosA=

t2-1

2

，-----------（10分）
即 x=

t

t2-1

=

1

t- 1 t

＞

2

，所以实数x的取值范围为(

2

，+∞)．---------（12分）

点评：本题主要考查两个向量共线的性质，正弦定理两角和差的正弦公式的应用，属于中档题．