Question

据中新网2009年4月9日电，日本鹿儿岛县樱岛昭和火山口当地时间9日下午3点31分发生中等规模爆发性喷火，鹿儿岛市及周边飞扬了大量火山灰．火山喷发停止后，为测量的需要距离喷口中心50米内的圆环面为第1区、50米至100米的圆环面为第2区、100米至150米的圆环面为第3区、…、第50（n-1）米至50n米的圆环面为第n区，…，现测得第1区火山灰平均每平方米为1吨、第2区每平方米的平均重量较第1区减少2%、第3区较第2区又减少2%，…，以此类推．
（1）若第n区每平方米的重量为a_n千克，请写出a_n的表达式；
（2）第几区内的火山灰总重量最大？
（3）该火山这次喷发出的火山灰的总重量为多少万吨（π 取3，结果精确到万吨）？

Answer 1

分析：（1）由题意可知a_n=1000（1-2%）^n-1=1000（1-0.02）^n-1（n∈N^*）；
（2）设第n区内的面积为b_nm²，第n区火山灰总重量C_n=a_nb_n最大，则

Cn≥Cn-1′ Cn≤Cn+1

，解之即可求出第几区内的火山灰总重量最大；
（3）设该火山前n区这次喷发出的火山灰的总重量为S万吨，再由错位相减可知该火山前n区这次喷发出的火山灰的总重量，最后利用极限可求出所求．

解答：解（1）由题意可知a_n=1000（1-2%）^n-1=1000（1-0.02）^n-1（n∈N^*）．
（2）设第n区内的面积为b_n平方米，
则 b_n=π50²n²-π50²（n-1）²=2500π（2n-1）．
则第n区内火山灰的总重量为C_n=a_nb_n=2500π（2n-1）（1-2%）^n-1（吨）=

π

4

(2n-1)(0.98)n-1（万吨）
设第n区火山灰总重量最大，则

π 4 (2n-1)(0.98)n-1≥ π 4 (2n-3)(0.98)n-2 π 4 (2n-1)(0.98)n-1≥ π 4 (2n+1)(0.98)n

解得49

1

2

≤n≤50

1

2

，∴n=50．
即得第50区火山灰的总重量最大．
（Ⅲ）设火山喷发的火山区灰总重量为S万吨，
则S=C₁+C₂+…+C_n+…，
设S_n=C₁+C₂+…+C_n，q=1-0.02，
则Sn=

π

4

+

3π

4

q+

5π

4

q2+…+

(2n-1)π

4

qn-1①
∴qSn=

π

4

q+

3π

4

q2+

5π

4

q3+…+

(2n-1)π

4

qn②
①-②得(1-q)Sn=

π

4

+

π

2

(q+q2+…+qn-1)-

(2n-1)π

4

qn
∴Sn=

π

4(1-q)

+

πq(1-qn-1)

2(1-q)2

-

(2n-1)π

4(1-q)

qn
∵0＜q＜1，∴S=

lim

n→∞

Sn=

π

4(1-q)

+

πq

2(1-q)2

=

π

4×0.02

+

π×0.98

2×(0.02)2

≈3712（万吨）
因此该火山这次喷发出的火山灰的总重量约为3712万吨．

点评：本题主要考查数列性质的综合运用，以及利用错位相消法求和，解题时要认真审题，同时考查了计算能力，属于中档题．