Question

已知f（x）=ax²+bx（a≠0，b∈R），且y=f（x+1）为偶函数，方程f（x）=x有两个相等的实数根．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）是否存在区间[m，n]（m，n），使得f（x）在区间[m，n]上的值域为[3m，3n]？若存在，求m，n的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（I）根据偶函数的奇次项系数为0，及方程f（x）=x有两个相等的实数根分别求出a，b的值，进而可得函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）求出函数的最大值，可得m＜n≤

1

6

，即函数在区间[m，n]上为增函数，进而可得

f(m)=3m f(n)=3n

，代入构造关于m，n的方程组，解方程组可得答案．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x+1）=a（x+1）²+b（x+1）=ax²+（2a+b）x+a+b为偶函数，
∴2a+b=0…①…（2分）
∵方程f（x）=x，即ax²+（b-1）x=0有两个相等的实数根．
∴b-1=0…②…（4分）
由①②得a=-

1

2

，b=1
∴f(x)=-

1

2

x2+x…（5分）
（Ⅱ）∵f(x)=-

1

2

x2+x=-

1

2

(x-1)2+

1

2

≤

1

2

…（7分）
又f（x）在区间[m，n]上的值域为[3m，3n]，
∴3n≤

1

2

，即n≤

1

6

∴m＜n≤

1

6

，
∴f（x）在区间[m，n]上是增函数，…（9分）
∴

f(m)=3m f(n)=3n

，即

- 1 2 m2+m=3m - 1 2 n2+n=3n

∴m，n是方程-

1

2

x2+x=3x的两根，
由-

1

2

x2+x=3x，解得x=0或x=-4
∴m=-4，n=0…（12分）．

点评：本题考查的知识点是二次函数的解析式与二次函数的性质，其中第二问中确定m＜n≤

1

6

是解答的关键