Question

过抛物线y²=4x顶点O的直线l₁、l₂与抛物线的另一个交点分别为A、B，l₁⊥l₂，OD⊥AB，垂足为D，则D点的轨迹方程为（　　）

• A、y²=x（x≠0）
• B、

  x2

  4

  -y2=1(x≥2）
• C、（x-2）²+y²=4（x≠0）
• D、（x-2）²+y²=4

Answer 1

分析：设出直线OA的方程，根据l₁⊥l₂，可得直线OB的方程，联立方程组，分别求出点A和点B，得到直线AB的方程，发现直线AB恒过定点（4，0），利用几何关系可得点D到定点（2，0）的距离等于定长2，可得点D的轨迹方程．

解答：解：设直线OA的方程为y=kx，则

y=kx y2=4x

，消去y得x=

4

k2

，
∴点A的坐标为（

4

k2

，

4

k

），
∵l₁⊥l₂，
∴直线OA的方程为y=-

1

k

x，点B的坐标为（4k²，-4k），
则直线AB的斜率为

4 k +4k

4 k2 -4k2

=

k

1-k2

，
∴直线AB的方程为y+4k=

k

1-k2

（x-4k²），
整理可得，y=

k

1-k2

（x-4），
故直线AB经过定点（4，0），
∵OD⊥AB，垂足为D，则OD的垂直平分线必定经过点（2，0），
∴点（2，0）到原点O的距离等于到点D的距离，
又点（2，0）到原点O的距离为2，
∴点D到定点（2，0）的距离恒为定值2，
根据圆的定义可知，点D的轨迹是一个以（2，0）为圆心，2为半径的一个圆，
∴点D的轨迹方程为（x-2）²+y²=4，
故选：D．

点评：本题主要考查了交点轨迹问题，此题为教材习题的改编题，其中直线AB经过定点（4，0）是解题的关键，属于中档题．