Question

在ΔABC中，顶点A,B, C所对三边分别是a,b,c已知B(-1, 0), C(1, 0),且b,a, c成等差数列.

(I )求顶点A的轨迹方程；

(II) 设顶点A的轨迹与直线y=kx+m相交于不同的两点M、N，如果存在过点P(0,-)的直线l,使得点M、N关于l对称，求实数m的取值范围

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）当k=0时，m的取值范围为；

当k≠0时，m的取值范围为()．

【解析】(I ) 且b,a, c成等差数列结合椭圆的定义求得轨迹方程；(II)将y=kx+m与椭圆方程联立，判别式大于0，根据点关于直线对称，得k、m的关系

解：（I）由题知得b+c=4，即|AC|+|AB|=4（定值）．

由椭圆定义知，顶点A的轨迹是以B、C为焦点的椭圆（除去左右顶点），

且其长半轴长为2，半焦距为1，于是短半轴长为．

∴ 顶点A的轨迹方程为．………………………………4分

（II）由

消去y整理得(3+4k²)x²+8kmx+4(m²-3)=0．∴  Δ=(8km)²-4(3+4k²)×4(m²-3)>0，

整理得：4k²>m²-3．①令M(x₁，y₁)，N(x₂，y₂)，则 

设MN的中点P(x₀，y₀)，则

，…………………7分

i)当k=0时，由题知，．……………………………8分

ii)当k≠0时，直线l方程为，由P(x₀，y₀)在直线l上，得，得2m=3+4k²．②把②式代入①中可得2m-3>m²-3，解得0<m<2.又由②得2m-3=4k²>0，解得．∴ ．验证：当(-2，0)在y=kx+m上时，得m=2k代入②得4k²-4k+3=0，k无解．即y=kx+m不会过椭圆左顶点.同理可验证y=kx+m不过右顶点．∴ m的取值范围为()．………11分

综上，当k=0时，m的取值范围为；当k≠0时，m的取值范围为()．