Question

【题目】如果定义在R上的函数f（x）满足：对于任意x1≠x2 ， 都有xlf（xl）+x2f（x2）≥xlf（x2）+x2f（xl），则称f（x）为“H函数”，给出下列函数： ①y=﹣x3+x+l；
②y=3x﹣2（sinx﹣cosx）；
③y=l﹣ex；
④f（x）= ；
⑤y=
其中“H函数”的个数有（ ）
A.3个
B.2个
C.l个
D.0个

Answer 1

【答案】B
【解析】解：根据题意，对于x1f（x1）+x2f（x2）≥x1f（x2）+x2f（x1）， 则有f（x1）（x1﹣x2）﹣f（x2）（x1﹣x2）≥0，
即[f（x1）﹣f（x2）]（x1﹣x2）≥0，
分析可得：若函数f（x）为“H函数”，则函数f（x）为增函数或常数函数；
对于①、y=﹣x3+x+l，有y′=﹣3x2+l，不是增函数也不是常数函数，则其不是“H函数”，
对于②、y=3x﹣2（sinx﹣cosx）；有y′=3﹣2（sinx+cosx）=3﹣2 sin（x+ ），有y′≥0，
y=3x﹣2（sinx﹣cosx）为增函数，则其是“H函数”，
对于③、y=l﹣ex=﹣ex+1，是减函数，则其不是“H函数”，
对于④、f（x）= ，当x＜1时是常数函数，当x≥1时是增函数，则其是“H函数”，
对于⑤、y= ，当x≠0时，y= ，当x＞1和x＜﹣1时，函数为减函数，故其不是增函数也不是常数函数，则其不是“H函数”，
综合可得：有2个是“H函数”，
故选：B．
【考点精析】认真审题，首先需要了解函数单调性的判断方法(单调性的判定法：①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量，且x1＜x2；②判定f(x1)与f(x2)的大小；③作差比较或作商比较)．