Question

 

从曲线上一点引曲线C的第一条切线，交轴于点，过点引曲线C的第二条切线，交轴于点，…如此反复作下去，由切线得到点列，，的横坐标组成数列，          

（1）若 ，求数列的通项公式；

（2）若对于任意的正整数都有恒成立，且，求的最大值；

（3）在（1）的条件下，记，数列的前项和为 ，试比较与1的大小。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 解：（1）   1分 的方程为 且

令得 即             

又B_n(x_n+1,0),   3分

数列是首项为4 ，公比为的等比数列    4分

（2）          

数列是首项为 ，公比为的等比数列，且    5分

又，公比满足，         

为递减的等比数列，

∴y_n的最大值是y₁=x₁²,

要使得对任意的正整数都有恒成立，只要           6分

解得，又，的最大值为             7分

（3）由（1）得     8分         

                ①

   ②

①-②得

         11分         

当时，   

当时，       12分         

当时，

      

故T_n>1.                                             14分