Question

10．（1）如果a，b都是正数，且a≠b，求证：$\frac{a}{{\sqrt{b}}}+\frac{b}{{\sqrt{a}}}＞\sqrt{a}+\sqrt{b}$
（2）数列{a_n}中，已知a_n＞0且（a₁+a₂+…+a_n）²=a₁³+a₂³+…+a_n³，求出a₁，a₂，a₃，并猜想a_n．

Answer 1

分析 （1）利用基本不等式，即可证明结论；
（2）直接代入a₁³+a₂³+…+a_n³=（a₁+a₂+…+a_n）²计算即可求出a₁，a₂，a₃，通过a₁³+a₂³+…+a_n³=（a₁+a₂+…+a_n）²与a₁³+a₂³+…+a_n³+a_n+1³=（a₁+a₂+…+a_n+a_n+1）²作差、整理可知a_n+1²=2（a₁+a₂+…+a_n）+a_n+1，将上述等式与a_n²=2（a₁+a₂++a_n-1）+a_n（n≥2）作差、整理可知数列{a_n}是首项为1、公差为1的等差数列，计算即得结论．

解答 （1）证明：∵a，b都是正数，且a≠b，
∴$\frac{a}{\sqrt{b}}+\sqrt{b}＞2\sqrt{a}$，$\frac{b}{\sqrt{a}}+\sqrt{a}＞2\sqrt{b}$，
∴$\frac{a}{{\sqrt{b}}}+\frac{b}{{\sqrt{a}}}＞\sqrt{a}+\sqrt{b}$
（2）解：依题意，a₁³=a₁²，
解得：a₁=1或a₁=0（舍）；
又∵a₁³+a₂³=（a₁+a₂）²，即1+a₂³=（1+a₂）²，
∴1+a₂³=1+2a₂+a₂²，
解得：a₂=2或a₂=-1（舍）；
∴a₁、a₂的值分别为1、2；
∵a₁³+a₂³+…+a_n³=（a₁+a₂+…+a_n）²，①
∴a₁³+a₂³+…+a_n³+a_n+1³=（a₁+a₂+…+a_n+a_n+1）²．②
②-①，得a_n+1³=（a₁+a₂+…+a_n+a_n+1）²-（a₁+a₂+…+a_n）²，
整理得：a_n+1³=[2（a₁+a₂+…+a_n）+a_n+1）]a_n+1，
又∵a_n＞0，
∴a_n+1²=2（a₁+a₂+…+a_n）+a_n+1．③
同样有a_n²=2（a₁+a₂++a_n-1）+a_n（n≥2），④
③-④，得a_n+1²-a_n²=a_n+1+a_n．
∴a_n+1-a_n=1．
由于a₂-a₁=1，即当n≥1时都有a_n+1-a_n=1，
∴数列{a_n}是首项为1、公差为1的等差数列，
故数列{a_n}的通项公式a_n=n．

点评 本题考查不等式的证明，考查数列的通项，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．