Question

18．已知抛物线x²=2py（p＞0）的焦点为F，过点F且倾斜角为150°的直线l与抛物线在第一、二象限分别交于A，B两点，则$\frac{{|{BF}|}}{{|{AF}|}}$等于（　　）

• A． 3
• B． $7+4\sqrt{3}$
• C． $\frac{1}{3}$
• D． $3+2\sqrt{2}$

Answer 1

分析 设直线l的方程为：x=-$\sqrt{3}$（y-$\frac{p}{2}$），代入抛物线方程，求得A和B坐标，由抛物线的焦点弦公式，即可求得$\frac{{|{BF}|}}{{|{AF}|}}$的值．

解答 解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线l的方程为：x=-$\sqrt{3}$（y-$\frac{p}{2}$）则：
$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}=2py}\\{x=-\sqrt{3}（y-1）}\end{array}\right.$，消去x可得12y²-20py+3p²=0，
点A在第一象限，解得：y₁=$\frac{p}{6}$，y₂=$\frac{3p}{2}$，
∴$\frac{{|{BF}|}}{{|{AF}|}}$=$\frac{{y}_{2}+\frac{p}{2}}{{y}_{1}+\frac{p}{2}}$=$\frac{\frac{3p}{2}+\frac{p}{2}}{\frac{p}{6}+\frac{p}{2}}$=3，
故选A．

点评 本题考查抛物线的焦点弦公式，直线与抛物线位置关系，考查计算能力，属于中档题．