Question

设函数f（x）=ax²+bx+1（a，b为常数，且a＞0），f（-1）=0，且对任意实数x均有f（x）≥0．
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）若g（x）=f（x）-kx（x∈[-2，2]）是单调函数，求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）由f（-1）=0可得b=a+1；从而可得f（x）=ax²+（a+1）x+1，从而求得f（x）=x²+2x+1；
（2）由g（x）=x²+（2-k）x+1且g（x）在[-2，2]上是单调函数知

k-2

2

≤-2或

k-2

2

≥2；从而求解．

解答： 解：（1）∵f（-1）=0，∴b=a+1；
∴f（x）=ax²+（a+1）x+1，
又∵对任意实数x均有f（x）≥0，
∴△=（a-1）²≤0，
故a=1；
故f（x）=x²+2x+1；
（2）g（x）=x²+（2-k）x+1，
∵g（x）=f（x）-kx（x∈[-2，2]）是单调函数，
∴

k-2

2

≤-2或

k-2

2

≥2；
故k≤-2或k≥6．

点评：本题考查了二次函数的应用，属于基础题．