Question

12．某同学用五点法画函数$f（x）=Asin（ωx+φ），（ω＞0，|φ|＜\frac{π}{2}）$在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：

ωx+φ	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
x		$\frac{π}{3}$		$\frac{5π}{6}$
Asin（ωx+φ）	0	3		-3	0

（Ⅰ）请将表数据补充完整，并直接写出函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅲ）求f（x）在区间$[-\frac{π}{4}\;，\;\frac{π}{6}]$上的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由表中数据列关于ω、φ的二元一次方程组，求得A、ω、φ的值，得到函数解析式，进一步完成数据补充．
（Ⅱ）由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，可解得函数f（x）的单调递增区间．
（Ⅲ）由x∈$[-\frac{π}{4}\;，\;\frac{π}{6}]$，可得2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{2π}{3}$，$\frac{π}{6}$]，利用正弦函数的图象即可求得f（x）在区间$[-\frac{π}{4}\;，\;\frac{π}{6}]$上的最小值为-3．

解答 解：（Ⅰ）根据表中已知数据，解得A=3，ω=2，φ=-$\frac{π}{6}$，
数据补全如下表：

ωx+φ	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
x	$\frac{π}{12}$	$\frac{π}{3}$	$\frac{7π}{12}$	$\frac{5π}{6}$	$\frac{13π}{12}$
Asin（ωx+φ）	0	3	0	-3	0

函数表达式为f（x）=3sin（2x-$\frac{π}{6}$）．
（Ⅱ）由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，可解得函数f（x）的单调递增区间为：[kπ-$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{π}{3}$]，k∈Z．
（Ⅲ）∵x∈$[-\frac{π}{4}\;，\;\frac{π}{6}]$，
∴2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{2π}{3}$，$\frac{π}{6}$]，
∴f（x）=3sin（2x-$\frac{π}{6}$）∈[-3，$\frac{3}{2}$]．
∴当2x-$\frac{π}{6}$=-$\frac{π}{2}$，即x=-$\frac{π}{6}$时，f（x）在区间$[-\frac{π}{4}\;，\;\frac{π}{6}]$上的最小值为-3．

点评 本题考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解函数解析式，考查了y=Asin（ωx+φ）的性质，是中档题．