Question

对于n∈N^*（n≥2），定义一个如下数阵：Ann=

a11 a12 … a1n a21 a22 … a2n … … … … an1 an2 … ann

，其中对任意的1≤i≤n，1≤j≤n，当i能整除j时，a_ij=1；当i不能整除j时，a_ij=0．设t(j)=

n

i=1

aij=a1j+a2j+…+anj．
（Ⅰ）当n=6时，试写出数阵A₆₆并计算

6

j=1

t(j)；
（Ⅱ）若[x]表示不超过x的最大整数，求证：

n

j=1

t(j)=

n

i=1

[ 

n

i

 ]；
（Ⅲ）若f(n)=

1

n

n

j=1

t(j)，g(n)=

∫

n 1

1

x

dx，求证：g（n）-1＜f（n）＜g（n）+1．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依题意可得，A66=

1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1

． 

6

j=1

t(j)=1+2+2+3+2+4=14．
（Ⅱ）由题意可知，t（j）是数阵A_nn的第j列的和，因此

n

j=1

t(j)是数阵A_nn所有数的和．而数阵A_nn所有数的和也可以考虑按行相加．对任意的1≤i≤n，不超过n的倍数有1i，2i，…，[

n

i

]i．因此数阵A_nn的第i行中有[

n

i

]个1，其余是0，即第i行的和为[

n

i

]．从而得到结果．
（Ⅲ）由[x]的定义可知，

n

i

-1＜[

n

i

]≤

n

i

，所以

n

i=1

n

i

-n＜

n

i=1

[

n

i

]≤

n

i=1

n

i

．所以

n

i=1

1

i

-1＜f(n)≤

n

i=1

1

i

．再考查定积分

∫

n 1

1

x

dx，根据曲边梯形的面积的计算即可证得结论．

解答：解：（Ⅰ）依题意可得，A66=

1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1

． 

6

j=1

t(j)=1+2+2+3+2+4=14．
（Ⅱ）由题意可知，t（j）是数阵A_nn的第j列的和，因此

n

j=1

t(j)是数阵A_nn所有数的和．
而数阵A_nn所有数的和也可以考虑按行相加．
对任意的1≤i≤n，不超过n的倍数有1i，2i，…，[

n

i

]i．
因此数阵A_nn的第i行中有[

n

i

]个1，其余是0，即第i行的和为[

n

i

]．
所以

n

j=1

t(j)=

n

i=1

[ 

n

i

 ]．
（Ⅲ）证明：由[x]的定义可知，

n

i

-1＜[

n

i

]≤

n

i

，
所以

n

i=1

n

i

-n＜

n

i=1

[

n

i

]≤

n

i=1

n

i

．所以

n

i=1

1

i

-1＜f(n)≤

n

i=1

1

i

．
考查定积分

∫

n 1

1

x

dx，将区间[1，n]分成n-1等分，则

∫

n 1

1

x

dx的不足近似值为

n

i=2

1

i

，

∫

n 1

1

x

dx的过剩近似值为

n-1

i=1

1

i

． 所以

n

i=2

1

i

＜

∫

n 1

1

x

dx＜

n-1

i=1

1

i

．
所以

n

i=1

1

i

-1＜g（n）＜

n

i=1

1

i

．所以g（n）-1＜

n

i=1

1

i

-1＜f(n)≤

n

i=1

1

i

＜g（n）+1．
所以g（n）-1＜f（n）＜g（n）+1．

点评：本小题主要考查高阶矩阵、矩阵的应用、定积分等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．