Question

如图，在棱长为1的正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，M、N分别为A₁B₁和BB₁的中点，那么直线AM与CN所成的角的余弦值为（    ）

A.            B.            C.            D.

Answer 1

分析：可用基向量或建立空间直角坐标系用坐标法来求解.

解析：方法一:∵,

∴.

而||=，

同理，|.

设直线AM与CN所成的角为α,则cosα=.

方法二：如图，把D点视作原点O，分别沿DA、DC、DD₁方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系.

则A(1,0,0),M(1,12,1),C(0,1,0),N(1,1,12).

∴=(1,,1)-(1,0,0)=(0,,1),

=(1,1,)-(0,1,0)=(1,0,).

故·=0×1+×0+1×=.

||=,||=.

设直线AM与CN所成的角为α，则

cosα=.

答案：D

点拨：空间两条直线之间的夹角是不超过90°的角，因此，如果按公式计算分子的数量积为一个负数，则应当取其绝对值，使之变为正值，这样求得的角为锐角，这一说明在以后很多计算问题中经常被用到.