Question

如图，平面PAC⊥平面ABC，点E、F、O分别为线段PA、PB、AC的中点，点G是线段CO的中点，AB=BC=AC=4，PA=PC=2

2

．
求证：
（1）PA⊥平面EBO；
（2）FG∥平面EBO；
（3）求三棱锥E-PBC的体积．

Answer 1

分析：（1）先证明BO⊥面PAC，可得BO⊥PA．由OE∥PC，PC⊥PA 可得OE⊥PA，从而证得PA⊥平面EBO．
（2）由线段长度间的关系证明FG∥QO，进而证得FG∥平面EBO．
（3）先确定棱锥的高BO，求出BO的大小，然后求出底面PEC的大小，即可求解所求棱锥的体积．

解答：（1）证明：由题意可知，△PAC为等腰直角三角形，△ABC为等边三角形． 因为O为边AC的中点，所以BO⊥AC，
因为平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，BO?平面ABC，所以，BO⊥面PAC．
因为PA?平面PAC，故 BO⊥PA．在等腰三角形PAC内，O，E为所在边的中点，故 OE∥PC，∴OE⊥PA，
又BO∩OE=O，所以，PA⊥平面EBO．
（2）证明：连AF交BE于Q，连QO．因为E、F、O分别为边PA、PB、PC的中点，
所以

AO

OG

=2． 又 Q是△PAB的重心．
于是，

AG

GF

=2=

AO

OG

，所以，FG∥QO．
因为FG?平面EBO，QO?平面EBO，所以，FG∥平面EBO．
（3）解：由（1）可知PA⊥平面EBO，所以PE⊥BO，
因为O是线段AC的中点，AB=BC=AC=4，所以BO⊥AC，
所以BO⊥平面PEC，BO是棱锥的高，BO=2

3

．
S_△PEO=

1

2

S_△PAC=

1

2

×

1

2

×4×

(2 2 )2-22

=2．
所以三棱锥E-PBC的体积V=

1

3

×2×2

3

=

4 3

3

．

点评：本题考查直线与平面垂直的判定，棱柱、棱锥、棱台的体积，直线与平面平行的判定，考查空间想象能力，转化思想与计算能力．