Question

以原点为圆心的两个同心圆的方程分别为x²+y²=4和x²+y²=1，过原点O的射线交大圆于点P，交小圆于点Q，作PM⊥x轴于M，若

PN

=λ

PM

，

QN

•

PM

=0．
（1）求点N的轨迹方程；
（2）过点A（-3，0）的直线l与（1）中的点N的轨迹交于E，F两点，设B（1，0），求

BE

•

BF

的取值范围．

Answer 1

考点：轨迹方程,平面向量数量积的运算

专题：计算题,平面向量及应用,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）设P（2cosa，2sina），Q（cosa，sina）；则由题意可得N（2cosa，sina），从而求点N的轨迹方程；
（2）联立方程

x2 4 +y2=1 y=k(x+3)

，从而可得（4k²+1）x²+24k²x+36k²-4=0，由△＞0解得k²＜

1

5

；再利用韦达定理可得x₁+x₂=

24k2

4k2+1

，x₁x₂=

36k2-1

4k2+1

；从而化简

BE

•

BF

=x₁x₂-（x₁+x₂）+y₁y₂即可得到取值范围．

解答： 解：（1）设P（2cosa，2sina），Q（cosa，sina）；
由

PN

=λ

PM

知N在PM上，由

QN

•

PM

=0知QN⊥PM；
∴N（2cosa，sina），
故点N的轨迹方程为

x2

4

+y²=1；
（2）由题意可知，斜率显然存在，
联立方程

x2 4 +y2=1 y=k(x+3)

，
即（4k²+1）x²+24k²x+36k²-4=0，
由△＞0解得，k²＜

1

5

；
x₁+x₂=

24k2

4k2+1

，x₁x₂=

36k2-1

4k2+1

；
故

BE

•

BF

=x₁x₂-（x₁+x₂）+y₁y₂
=x₁x₂-（x₁+x₂）+k²[x₁x₂+3（x₁+x₂）+9]
=

4(k2+1)(9k2-1)+(3k2-1)(-24k2)

4k2+1

+9k²+1
=

69

4

（1-

27

92(k2+ 1 4 )

），
∵0≤k²＜

1

5

，
∴

BE

•

BF

∈[-3，6）．

点评：本题考查了直线与圆，与椭圆的位置关系的应用，同时考查了平面向量的应用及志韦达定理等，属于中档题．