Question

如图，椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，其左焦点到点P（2，1）的距离为．不过原点O的直线l与C相交于A，B两点，且线段AB被直线OP平分。

（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）求△ABP的面积取最大时直线l的方程

Answer 1

解：（Ⅰ）由题：； （1）
左焦点（-c，0）到点P（2，1）的距离为：（2）
由（1）（2）可解得：
∴所求椭圆C的方程为：。
（Ⅱ）易得直线OP的方程：y＝x，
设A（x_A，y_A），B（x_B，y_B），R（x₀，y₀）
其中y₀＝x₀
∵A，B在椭圆上，
∴
设直线AB的方程为l：y＝﹣（m≠0），
代入椭圆：
显然
∴﹣＜m＜且m≠0
由上又有：＝m，＝
∴|AB|＝||＝＝
∵点P（2，1）到直线l的距离为：
∴S_△ABP＝d|AB|＝|m＋2|，
当|m＋2|＝，即m＝-3 or  m＝0（舍去）时，
（S_△ABP）max＝
此时直线l的方程y＝-。